解析学2

授業の導入と目標を把握し、解析学１を復習する。この過程を通じて、解析学の重要性を再認識する。

偏微分係数と偏導関数の基本を理解し、高階偏微分の概念を掴む。具体的な偏微分の計算例を通じて理解を深め、方向微分やラプラシアンについても学ぶ。

平面の方程式や全微分、接平面、勾配ベクトルといったトピックを理解する。勾配降下法の理解を深める。

多変数関数の極値を理解し、二次形式とヘッセ行列を学ぶ。例題を通して理解を深め、テイラーの定理の適用を修得する。

条件付き極値の理解と適用について深く学ぶ。例題を通じて、ラグランジュの未定乗数法、陰関数定理、2階微分の理解と応用能力を身につける。

基本的な最適化理論を学び、勾配降下法、ニュートン法と準ニュートン法を理解し、その後の条件付き最適化、KKT条件、逐次2次計画法へと進む。

曲線の接ベクトルやベクトル値の写像について学び、写像の微分の理論を理解する。さらに、具体的な計算例を通じて逆写像定理についても理解を深める。

微分の連鎖律を理解し、その適用方法を身につける。写像の合成や計算例を通じて、微分作用素の変換も修得する。

重積分の基本から計算例、順序交換までを理解し、また、逐次積分の理解を深める。

線形変換と行列式の関連性を理解し、ヤコビアンを用いた変数変換公式を学ぶ。様々な変数変換の場合についても議論し、極座標への変換等に応用可能なスキルを身につける。

広義重積分の定義と基本的な例から学び、ガウス積分やガンマ関数、ベータ関数について理解する。また、定義できない例を通して、広義重積分の理解を深める。

曲面のパラメータとベクトルの外積を理解し、それを元に曲面積を導出する。さらに具体的な曲面積の計算例を通じて、パラメータの変換を身につける。

偏微分方程式の理解と応用能力を身につける。波動方程式や熱方程式の導出と変数分離解について学び、フーリエ級数展開を通じて応用力を養う。

ラプラス方程式やポアソン方程式を理解し、ディリクレ問題を解く技術を身につける。変分法や部分積分の公式も独自に活用できるようになる。ディリクレ原理についても理解を深める。

偏微分方程式への数値解法を学び、有限要素法やシミュレーションを通して、微分積分の重要性を理解する。復習とまとめを重ね、実践力を身につける。