解析学3

初回のガイダンスでは、微分積分、線形代数の知識を復習し、座標と微分方程式の理解を深めベクトル解析を学ぶことの動機づけを理解する。

ベクトル場の定義から始め、その後に勾配ベクトル場、ベクトル場の回転、発散といった概念を学修する。最終的にはラプラシアンを通じて、ベクトル場の微分を深く理解する。

線積分の定義から始まり、計算方法や基本性質を理解する。更に、グリーンの定理とその証明についても深く探求し、ベクトル場の線積分の知識を深める。

面積分の定義から始めて、その計算法や基本性質を学び、ストークスの定理とその証明を理解する。

ガウスの定理の基本的な理解を深め、その証明方法を学ぶ。その後、発散や流束、重力場との関連性を探る。最後には、ガウスの定理の応用例を取り上げる。

ポアンカレの補題とその証明方法を理解する。さらに、ポテンシャルについて学び、物理学などへの実際の応用例を学ぶ。

陰関数定理と逆関数定理を学び、その証明について理解する。また、未定乗数法を修得し、陰関数定理の応用例を通じて理解を深める。

線形空間の基本的な定義と性質を身につけ、部分空間や商空間などの概念を理解する。準同型定理と双対空間についても学び、高度な線形代数の知識を深める。

双線型形式やテンソル積など、テンソルの基本的概念を学修する。また、対称形式と交代形式、共変テンソルと反変テンソルについて理解を深め、高階のテンソルにも触れる。

微分形式の基本的な定義と性質を学び、高次の微分形式や外微分の理解を深める。さらに、微分形式の積分やドラームコホモロジーの導入を通じて、微分形式の応用を身につける。

微分形式と微分方程式について学び、完全微分形や積分可能性条件、フロべニウスの定理、特性系を通じて、微分方程式への応用を理解する。

ベクトルと接ベクトルの定義を理解し、その応用領域であるベクトル場・テンソル場について学修する。微分作用素とベクトル場の関連性を探り、さらにベクトル場の微分を学ぶ。

リーマン計量の定義や性質について学び、測地線の定義や性質を理解する。測地方程式を扱い、具体的な例を通じて理解を深める。

微分幾何学の一部である接続と曲率を学修する。接続の定義と性質、共変微分、接続形式の理解を深め、ガウス曲率とガウス写像を通じて曲面の理解を進める。

測地曲率や局所的なガウスボンネの定理の理解を深める。また、それらの証明法を学び、オイラー数への理解と大域的なガウスボンネの定理へと繋げる。