複素解析

複素数、複素数平面、複素関数を学ぶことで、複素解析を学ぶための基礎知識を身につける。

正則関数の定義から理解を深め、具体的な例を通じて理解を深める。さらに、コーシー・リーマン方程式や等角性、ヤコビ行列を学び正則性の理解につなげる。

指数関数や三角関数をはじめ、オイラーの公式、対数関数、冪乗といった初等関数について複素関数としての理解を深める。

複素線積分の概念を深め、その定義や基本性質を理解する。線積分の計算を身につけ、パラメータの取り替えや不等式評価などの基本的な性質を学ぶ。

最も重要な定理であるコーシーの積分定理を学ぶ。定理を用いた積分計算の例や、グリーンの定理との関係、証明の概略を理解する。

コーシーの積分公式の理解を深め、その証明と導関数と積分の関連性を学び、正則関数の解析性を理解し、積分計算を具体例を通じて修得する。

ベキ級数について学修する。級数の収束、テイラー展開、その一意性や具体例を通して理解を深め、項別微積分を身につける。

指数関数、対数関数、三角関数、冪乗関数といった初等関数の冪級数展開を学ぶ。これらを通して、関数を無限級数として表すことの理解と技術を身につける。

数学的な一致の定理とその証明手法について学修し、解析接続やガンマ関数の解析接続を理解する。さらに、リーマン面の基本的な知識も身につける。

ローラン展開の理解と具体的な計算例の学修を深める。ローラン展開の一意性とその意義について学ぶ。さらに、孤立特異点、極と留数について理解を深める。

留数の計算例を学び、留数定理を深く理解する。留数定理を用いた積分計算や三角関数、有理関数の広義積分の手法を身につける。

留数定理を活用した積分の計算法を学ぶ。半周分の積分やフーリエ変換の計算、多価関数の積分の理解を深める。

一次分数変換から始め、鏡像の原理、シュワルツの補題、ジューコフスキー変換、リーマンの写像定理まで等角写像の理論と応用を修得する。

リュービルの定理や代数学の基本定理などを修得する。モレラの定理や原始関数を理解し、正則関数の収束についても学ぶ。

極限を用いた正則関数の最大値原理、偏角の原理、ルーシェの定理の理解を深め、開写像定理の理解を深める。偏角の原理を用いた方程式の解法も学ぶ。