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Inter-universal Teichmüller Theory 3（宇宙際タイヒミューラー理論 3）

[2026年度開講]
Ivan Fesenko
数学的思考力真理を追求したい

科目の概要

[ALGEBRAIC NUMBER THEORY] IUT 3 presents fundamental features of Galois theory and algebraic number theory. This approach leads to understanding of certain arithmetical properties of numbers (in particular, integers) from a new point of view. For example, various diophantine problems (eg sums of squares) can be interpreted in terms of certain algebraic relations and then successfully solved. IUT3 discusses some of the central results in the theory such as Galois groups, integrality, the structure of their rings of integers, ideal classes and unique factorisation, and applications. (日本語) [数論幾何] IUT3（本授業）では、ガロア理論と代数的整数論の基本的な特徴を紹介する。数（特に整数）のある算術的性質を新しい視点から理解できる。例えば、様々なディオファントス問題（例えば、平方数の和）は、特定の代数的な関係性の観点から解釈でき、解決可能である。また、ガロア群、整数性、整数環の構造、イデアル類と一意分解、および応用など、いくつかの中心的な結果について議論する。 （なお、この授業は英語で開講する。）

科目情報

履修想定年次
2年次
単位数
2単位
開講Q
3-4Q
科目属性
選択
授業の方法
演習科目
評価方法
Report70%, Group Work30%
前提科目
（推奨）
「学生便覧」カリキュラム・マップを参照
前提科目
（強く推奨）
「学生便覧」カリキュラム・マップを参照
後継科目
（推奨）
「学生便覧」カリキュラム・マップを参照
科目ナンバリング
MTH-2-C3-0034-011
到達目標
The aims of IUT3 are to provide an introduction to the main strands of Galois theory and algebraic number theory and to teach concepts and techniques used in number theory. By the end of the module, students should be able to understand a wide range of concepts in algebraic number theory, have a knowledge of the principal theorems and their proofs, and appreciate the role of symmetries in number theory. (日本語) IUT3（本授業）では、ガロア理論と代数的整数論の主要な概念への導入を行い、数論で使用される概念と技術を教える。 本授業を修了した学生は、代数的整数論の広範な概念を理解し、主要な定理とその証明についての知識を持ち、数論における対称性の役割を評価することができる。
教科書・参考書
[教科書]
  • 授業内で指定する可能性があります
[参考書]
  • 授業内で指定する可能性があります
授業時間外の学修
Conduct about two hours of preparation by researching unfamiliar words and prerequisite knowledge on the Web for each lesson's learning content. If there are materials distributed for preparation, be sure to review them.
特記事項
2026年度秋学期は休講となります。2026年4月1日現在。内容が更新される場合があります。

授業計画

第1回
Guidance class: Galois groups and integral structures in modern number theory

第1回開講日時：
学生便覧参照

this is the first introductory lecture

第2回
Irreducible polynomial f_a of an algebraic element a over the field

第2回開講日時：
学生便覧参照

from elements to polynomials and back

第3回
Algebraic elements and algebraic field extensions

第3回開講日時：
学生便覧参照

from elements to algebraic extensions of fields

第4回
Homomorphisms of fields

第4回開講日時：
学生便覧参照

relations between the fields

第5回
The splitting field of polynomials

第5回開講日時：
学生便覧参照

from a polynomial to a canonical field

第6回
Galois groups and Galois extensions

第6回開講日時：
学生便覧参照

symmetries of polynomials and fields

第7回
Integrality over rings

第7回開講日時：
学生便覧参照

a more refined concept of integrality, to understand properties of integer numbers

第8回
Integral elements and their irreducible polynomials

第8回開講日時：
学生便覧参照

integrality expressed in the language of polynomials

第9回
Integrality

第9回開講日時：
学生便覧参照

basic concepts of integrality

第10回
Number fields

第10回開講日時：
学生便覧参照

the basic object of algebraic number theory as a new dimension not seen in previous theories

第11回
Dedekind rings

第11回開講日時：
学生便覧参照

a general algebraic notion to efficiently characterise finite extensions of rational numbers

第12回
Working with ideals of Dedekind ring for factorisation purposes

第12回開講日時：
学生便覧参照

factorisation properties reviewed and understood deeper

第13回
Dedekind rings as a framework to deal with rings of integers of number fields

第13回開講日時：
学生便覧参照

an interplay between arithmetic and algebra

第14回
Measuring deviation from UFD: ideal class group

第14回開講日時：
学生便覧参照

concrete finite objects to measure 'bad' behaviour of number fields

第15回
Concluding class: using much of the previous material to compute the class number

第15回開講日時：
学生便覧参照

summarise and conclude

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