位相空間

位相空間論が現代数学のどのような場面に現れるのかを理解する。

距離空間と連続写像について、その定義を別の方法で述べ直す。

以降の授業で扱う位相空間の性質を、距離空間の場合を例に説明する。

位相空間のいくつかの定義を導入し、それらがすべて同値であることを見る。

距離空間から位相空間を作る方法を学ぶ。また、位相空間の部分集合の内部・閉包・境界・外部などの基本的な要素を学修する。

部分集合族から開集合系を作り出す操作である生成と、そのもととなる開基について理解する。また位相空間の可算性を表す性質として、可算公理や可分性について理解する。

連続写像が様々な同値な定義を持つことを理解する。また、位相空間を同一視する方法である同相写像について学ぶ。

位相空間の部分集合を自然に位相空間とみなす方法について学び、その基本的な性質を理解する。

位相空間の族の直積集合を自然に位相空間とみなす方法について学び、その基本的な性質を理解する。

位相空間の商集合を自然に位相空間とみなす方法を学び、その基本的な性質を理解する。

位相空間の開集合が豊富にあることを保証する分離公理について学ぶ。特に、ハウスドルフ空間について理解を深める。

位相空間論において非常に重要な地位を占めるコンパクト性について学ぶ。

コンパクトハウスドルフ空間の重要な性質である、連続な全単射が同相写像になることについて学ぶ。

空間がひとつにまとまっていることを表す(弧状)連結性について理解する。

完備距離空間の位相的性質について理解する。特に、コンパクト性やベールの範疇定理について学ぶ。