多様体

多様体の概念を学ぶ準備として、多変数の微積分、ユークリッド空間の接ベクトル、陰関数定理、ユークリッド空間の微分形式について復習する。

ユークリッド空間内の曲面や多様体を理解し、多様体の定義とそれについての具体的な例を学ぶ。

多様体上の滑らかな関数や多様体の間の滑らかな写像について理解を深める。微分同相写像について探求し、さまざまな滑らかな写像の例を学ぶ。

商位相や商空間のハウスドルフ性等を学修し、円周とトーラスや射影空間などの商として多様体を定めることについての理解を深める。

微分幾何学の基本的な概念である接ベクトルと接空間を理解し、それらを活用して多様体上の曲線を考察する。さらに、臨界点と正則点について学ぶ。

部分多様体の定義と例を学び、サードの定理を理解する。さらに、はめ込みと埋め込みについて学ぶ。

接ベクトル束や余接ベクトル束の理解を深め、ベクトル束や滑らかな切断、滑らかな枠について学修する。微分幾何学の基礎的な概念を具体的に理解し、使いこなせるようになる。

ベクトル場の滑らかさや積分曲線、フロー、かっこ積、ベクトル場の押し出しを理解する。

リー群の定義と例からスタートし、行列の指数関数、リー群の接空間、そしてリー群の左不変ベクトル場を学修する。最後にリー代数について理解を深める。

微分形式の基礎とその応用について学ぶ。具体的には、関数の微分、1形式、k形式の理解を深め、引き戻し、リー群上の微分形式の理論を修得する。

微分形式の微分とその周辺のトピック、外微分、引き戻し、リー微分、内部積、およびこれらの相互関係についての理解を深める。

微分形式の積分やストークスの定理を理解し、境界付き多様体や１の分割を学ぶ。また、多様体の向きについても理解を深める。

リーマン計量の定義と存在について理解を深め、曲線の長さの算出方法を学修する。

測地線の基本的な概念から、その定義と具体的な例までを深く理解する。局所的最短性や接続と共変微分の理解を深め、測地流の理解につなげる。

ベクトル場とフローの関連性を理解し、アイソトピー、フローと関数、フローとベクトル場、勾配ベクトル場の概念を把握する。