環論

環の概念を定義し、その具体例を通じて、可換環の基本的な考え方に慣れる。

単元や整除関係など、普通の整数や多項式における基本的な演算が一般の環でもできることを学ぶ。

イデアルの考え方を導入し、具体例による計算を通じて、その整除関係との関連性を体得する。

イデアルの演算を導入し、その環論的な意味について考察する。

単項イデアル整域について基礎事項をまとめ、特にユークリッド整域との関係など抽象的な側面について理解を深める。

可換環のイデアルによる剰余環の概念を導入し、その中での計算に慣れる。

剰余環の性質を通じて素イデアルや極大イデアルを導入し、その基礎事項をまとめる。

環の準同型の計算から、環のより深い性質を明らかにする。

準同型定理を紹介し、剰余環の概念と合わせて環論のより深い側面を理解する。

応用として中国式剰余定理を紹介し、その仕組みを理解する。

素因数分解（の一意性）の一般化として素元分解を考え、それが可能である一般的状況を導入する。

環上の加群を導入し、部分加群の性質について理解する。

環上の加群および可換環上の代数の有限性条件について理解し、自由加群について理解する。

可換環の局所化について理解し、その例として整域の商体について理解する。

環の概念からイデアル、剰余環、環上の加群といった概念を通じて抽象的なレベルでのさまざまな計算を概観する。