積分と測度

本ゼミの学修で必要となる基礎事項のうち、「微積分の補足」に当たる事項を理解する。特に、特定の順序に依存しない「総和」の概念などを身につけることで、今後の学修の基盤を作る。

距離・位相・連続関数・完備性・バナッハ空間・コンパクト性・一様連続性・一様収束などの基本概念を準備し、連続関数の積分の概念を確立する。

連続関数以外の関数についても適用できる「良い」積分概念を定義するため、ベクトル束・線型汎関数といった基本事項の理解の上に、「積分の拡張」の概念を確立する。

積分の収束定理を理解し、「積分論的に無視できる」「積分論的に等しい」などの概念に慣れる。リーマン積分との関係についても触れる。

可測集合・測度などの概念を「積分論的に」定義する。また、「積分から測度へ」「測度から積分へ」の行き来ができるようにする。

可測関数の概念を確立するとともに、「積分と測度の行き来」のあり方についてより精密に理解し、ここまでのまとめを行う。

くり返し積分の概念を理解する。パラメータ付き積分・くり返し積分の拡張・直積測度などを扱う。「ラドン変換」や「たたみこみ」の概念にも触れる。

ダニエル積分の概念、積分と測度の関係、くり返し積分などに関わる問題演習を行う。

L^p空間の概念を理解する。特に、L^p不等式・L^2内積とフーリエ展開・射影定理などの話題を扱う。

密度定理と双対性について理解する。有界汎関数の概念からはじめて、積分の順序と密度・普遍L^p空間・変動と極分解・L^p空間の双対性などの話題を扱う。

単調族と可測性について学ぶ。単調包・積分の単調拡大・単調切り取り・単調包と可測性・単調包と測度などの話題を扱う。

引き続き単調性と可測性について扱う。さらにそれを踏まえてダニエル積分やくり返し積分などの概念をより深く理解する。

ラドン測度について学ぶ。ベール集合とベール関数・正汎関数とベール測度・一点コンパクト化・有界汎関数と正則測度・射影極限とラドン測度について扱う。

L^p空間、密度定理と双対性、単調族と可測性・ラドン測度などに関わる問題演習を行う。

これまで学んだことを振り返り、積分論の骨格をまとめる。積分論を基盤とした現代数学の展開についても触れる。