量子からはじまる確率論

「*-代数」の概念とその上の「状態」の概念について学び、その組としての「代数的確率空間」（「非可換確率空間」あるいは「量子確率空間」ともいう）の概念を理解する。

「ヒルベルト空間」とそれに関わる基礎概念を学び、代数的確率空間を取り扱う基本的な道具となる「GNS（ゲルファント・ナイマルク・シーガル）構成について学ぶ。

「測度論的確率空間」の枠組みでは表現できず代数的確率空間によって初めてモデル化できる現象が存在することを示すために用いられる「ベルの不等式」について学ぶ。

代数的確率空間のシンプルで実りある例として、「量子調和振動子」の概念を学ぶ。物理的な意味や「量子古典対応」についても触れる。

量子調和振動子と深く関連する「ブラウン運動」について学ぶ。古典的な諸結果についても紹介する。

ブラウン運動と並んで重要なポアソン過程について学ぶ。ブラウン運動とポアソン過程が、代数的確率空間の概念によって統一的に捉えられることを理解する。

非可換確率論の枠組みから、「平均」からの揺らぎを捉える上で本質的な役割を果たす「量子中心極限定理」と呼ばれる基本定理を導出する。

測度論的確率論における「中心極限定理」（「古典中心極限定理」）を、その本質がわかりやすい簡素な形で扱い、確率論における「独立性」の概念の役割について理解を深める。

非可換確率論の枠組みのもとでは、古典的にはただ一つしか知られていなかった「独立性」の概念が多様化する。そもそも「独立性」とは何かという問題に立ち戻り、典型的な幾つかの独立性について学ぶ。

独立性の概念が与えられると、対応する「キュムラント」（「平均」や「分散」の概念を高次に一般化したもの）を考えることができる。今後に活用する「一般化されたキュムラント」の概念を学ぶ。

古典的なものを除き最も重要な独立性である「自由独立性」と、それを軸とした研究分野である「自由確率論」について、「自由キュムラント」を焦点を当てつつ学ぶ。

初めて登場する「非可換な独立性」としての「単調独立性」と、それを軸とした「単調確率論」を、「単調キュムラント」の概念に焦点を当てつつ学ぶ。

代数的確率空間の豊富な例を提供する「相互作用フォック空間」の概念を学び、それに関わる基本的な諸結果を概観する。

これまで学んだことがらを活用して、「ネットワーク科学」の基礎となる「グラフのスペクトル解析」について学ぶ。

「圏代数」と「圏上の状態」の概念についての近年の研究を紹介するとともに、非可換確率論と他の分野との関わりについて展望する。